如何利用导数求解函数的极值问题

一、如何利用导数求解函数的极值问题

以下是利用导数求解函数极值问题的一般步骤：

第 1 步：求出函数的导数。

第 2 步：令导数等于 0，求出可能的极值点。

第 3 步：判断这些点两侧导数的符号。

- 如果在某点左侧导数为正，右侧导数为负，则该点为极大值点。

- 如果在某点左侧导数为负，右侧导数为正，则该点为极小值点。

- 如果两侧导数同号，则该点不是极值点。

第 4 步：将极值点代入原函数，求出对应的极值。

需要注意的是，求出的可能极值点还需要结合函数的定义域等其他条件进行综合判断和取舍。同时，有些函数可能没有极值，或者在端点处取得最值等情况。

例如，对于函数$f(x)=x^3-3x$，其导数$f^\prime(x)=3x^2-3$。令$f^\prime(x)=0$，即$3x^2-3=0$，解得$x=\pm1$。当$x<-1$时，$f^\prime(x)>0$；当$-11$时，$f^\prime(x)>0$，所以$x=-1$是极大值点，极大值为$f(-1)=2$；$x=1$是极小值点，极小值为$f(1)=-2$。

二、利用导数求函数极值的典型例题及其变式

以下是一个利用导数求函数极值的典型例题及其变式：

例题：求函数$f(x)=x^3-3x$的极值。

对$f(x)$求导得：$f'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)$。

令$f'(x)=0$，即$3(x+1)(x-1)=0$，解得$x=-1$或$x=1$。

当$x<-1$时，$f'(x)>0$，函数$f(x)$单调递增；当$-11$时，$f'(x)>0$，函数$f(x)$单调递增。

所以当$x=-1$时，函数有极大值$f(-1)=(-1)^3-3\times(-1)=2$；当$x=1$时，函数有极小值$f(1)=1^3-3\times1=-2$。

变式：求函数$g(x)=x^3-3ax$（$a>0$）的极值。

$g'(x)=3x^2-3a=3(x^2-a)=3(x+\sqrt{a})(x-\sqrt{a})$。

令$g'(x)=0$，得$x=\pm\sqrt{a}$。

当$x<-\sqrt{a}$时，$g'(x)>0$，函数$g(x)$单调递增；当$-\sqrt{a}\sqrt{a}$时，$g'(x)>0$，函数$g(x)$单调递增。

所以当$x=-\sqrt{a}$时，函数有极大值$g(-\sqrt{a})=-a\sqrt{a}+3a\sqrt{a}=2a\sqrt{a}$；当$x=\sqrt{a}$时，函数有极小值$g(\sqrt{a})=a\sqrt{a}-3a\sqrt{a}=-2a\sqrt{a}$。

你可以根据以上思路再尝试更多的例题和变式练习。

三、如何利用导数求解函数的极值问题例题

以下是一个利用导数求解函数极值问题的例题：

求函数$f(x)=x^3-3x^2+1$的极值。

对$f(x)$求导可得：$f'(x)=3x^2-6x$。

令$f'(x)=0$，即$3x^2-6x=0$，$3x(x-2)=0$，解得$x=0$或$x=2$。

接下来分析导数在$x=0$和$x=2$两侧的符号变化：

当$x<0$时，$f'(x)=3x(x-2)>0$；

当$0

当$x>2$时，$f'(x)=3x(x-2)>0$。

所以，当$x=0$时，函数取得极大值$f(0)=1$；当$x=2$时，函数取得极小值$f(2)=-3$。

四、如何利用导数求解函数的极值问题视频

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